Açı

Açı işareti ⓘ

Açı, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimidir (Allendoerfer, 1965; MEB, 2009; Mitchelmore ve White, 2000; Young ve Bush, 1971; Wren, 1973). Bu tanımda açıyla ilgili olarak başlangıç noktası olması ve iki ışından oluşması özellikleri ön plana çıkmaktadır. Işınların kesiştiği noktaya "açının köşesi", ışınlara ise "açının kenarı" denir. Açı radyan ve derece gibi birimlendirmelerle ölçülür. Radyan ölçüsü açı köşesinden bir birim uzaklıkta elde edilen yayın uzunluğunu ölçen birimdir. Derece ise daire şeklinde olan ve birim çemberde 2 $\pi$ uzunluğa sahip yayın 360 derece olan tanımlanmasıyla elde edilir. Radyan ve derece arasında

\pi \equiv 180^{\circ }

bağıntısı kullanılarak orantıyla gerekli dönüşüm yapılabilir. ⓘ

Açıların birçok çeşidi vardır:Geniş açı, dar açı, dik açı, tam açı, doğru açı, tümler açı, bütünler açı, pozitif açı, negatif açı, merkez açı, çevre açı gibi. ⓘ

Dar açı: 1°'den 89°'a kadar
Dik açı: 90°
Geniş açı: 91°'den 179°'a kadar
Tam açı: 360° ⓘ

Açı kelimesi, pek çok geometri terimi gibi, okul kitabı olarak okutulmak üzere yazılan bir geometri kitabında, Atatürk tarafından Türkçeye kazandırılmıştır. ⓘ

Düzlemde açı, bir doğru parçasının sabit bir nokta çevresinde dönme miktarının ölçüsüdür. Saat ibrenin ters yönü "pozitif", düz yönü "negatif" kabul edilir. Babilliler, bir tam dönüşü 60 birime bölmüşlerdir (altmışlık sistem). ⓘ

1 devir = 360 derece ( 360° )
1 derece = 60 dakika ( 60' )
1 dakika = 60 saniye ( 60" ) ⓘ

Yani yukarıda listelenen birim dönüşüm eşitliklerini kullanarak 1 derecenin 60x60 = 3600 saniye (3600") olduğu sonucuna kolaylıkla ulaşılabilir. ⓘ

Yatay ve düşey doğrultular arasındaki açı 90°'dir ve "dik açı" diye tanımlanır. Genel olarak yüksek matematikte kullanılan birim radyan dır. (1 devir = 2π radyan). ⓘ

Başlangıç noktaları ortak olan ve ortak bir kapalı eğriden geçen iki ışın arasında kalan açıya "merkez açı" denir. ⓘ

Bir tepe noktasından çıkan iki ışının oluşturduğu açı. ⓘ

Açı aynı zamanda bir açının veya bir dönüşün ölçüsünü belirtmek için de kullanılır. Bu ölçü, dairesel bir yayın uzunluğunun yarıçapına oranıdır. Geometrik bir açı söz konusu olduğunda, yay tepe noktasında merkezlenir ve kenarlarla sınırlandırılır. Bir dönme durumunda, yay dönmenin merkezinde merkezlenir ve başka herhangi bir nokta ve onun görüntüsü tarafından dönme ile sınırlandırılır. ⓘ

Tarihçe ve etimoloji

Açı kelimesi Latince "köşe" anlamına gelen angulus kelimesinden gelir; akraba kelimeler "eğri, kavisli" anlamına gelen Yunanca ἀγκύλος (ankylοs) ve İngilizce "ayak bileği" kelimesidir. Her ikisi de "bükmek" veya "eğmek" anlamına gelen Proto-Hint-Avrupa kökü *ank- ile bağlantılıdır. ⓘ

Öklid bir düzlem açısını, bir düzlemde birbirini kesen ve birbirlerine göre düz olmayan iki doğrunun birbirine olan eğimi olarak tanımlar. Proclus'a göre bir açı ya bir nitelik ya bir nicelik ya da bir ilişki olmalıdır. İlk kavram, bir açıyı düz bir çizgiden sapma olarak gören Eudemus tarafından kullanılmıştır; ikincisi, onu kesişen çizgiler arasındaki aralık veya boşluk olarak gören Antakyalı Carpus tarafından kullanılmıştır; Öklid üçüncü kavramı benimsemiştir. ⓘ

Açıların tanımlanması

Matematiksel ifadelerde Yunan harflerinin kullanılması yaygındır (α, β, γ, θ, φ, . . . ) bir açının büyüklüğünü gösteren değişkenler olarak kullanılır (diğer anlamı ile karıştırılmaması için $π$ sembolü genellikle bu amaçla kullanılmaz). Küçük harfli Roma harfleri (a, b, c, . . . ) de kullanılır. Bunun kafa karıştırıcı olmadığı bağlamlarda, bir açı tepe noktasını ifade eden büyük harf Romen harfiyle gösterilebilir. Örnekler için bu makaledeki şekillere bakınız. ⓘ

Geometrik şekillerde, açılar kendilerini tanımlayan üç nokta ile de tanımlanabilir. Örneğin, AB ve AC ışınlarının (yani A noktasından B ve C noktalarına giden doğruların) oluşturduğu A tepe noktasına sahip açı $∠BAC$ veya ${\widehat {\rm {BAC}}}$ . Karışıklık riskinin olmadığı durumlarda, açı bazen sadece tepe noktası ile ifade edilebilir (bu durumda "A açısı"). ⓘ

Potansiyel olarak, örneğin $∠BAC$ olarak gösterilen bir açı dört açıdan herhangi birini ifade edebilir: B'den C'ye saat yönünde açı, B'den C'ye saat yönünün tersine açı, C'den B'ye saat yönünde açı veya C'den B'ye saat yönünün tersine açı, burada açının ölçüldüğü yön işaretini belirler (bkz. Pozitif ve negatif açılar). Bununla birlikte, birçok geometrik durumda, bağlamdan 180 dereceden küçük veya eşit pozitif açının kastedildiği açıktır, bu durumda herhangi bir belirsizlik ortaya çıkmaz. Aksi takdirde, $∠BAC$ her zaman B'den C'ye saat yönünün tersine (pozitif) açıyı ve $∠CAB$ C'den B'ye saat yönünün tersine (pozitif) açıyı ifade edecek şekilde bir konvansiyon benimsenebilir. ⓘ

Açı türleri

Bireysel açılar

Ölçüsü her zaman negatif olmayan açılar için bazı ortak terminoloji vardır (bkz. § Pozitif ve negatif açılar):

0°'ye eşit veya döndürülmemiş bir açıya sıfır açı denir.
Dik açıdan daha küçük bir açıya (90°'den küçük) dar açı denir ("dar", "keskin" anlamına gelir).
1/4 dönüşe eşit bir açıya (90° veya $π$ /2 radyan) dik açı denir. Dik açı oluşturan iki doğrunun normal, dik veya dik olduğu söylenir.
Bir dik açıdan daha büyük ve bir düz açıdan daha küçük bir açıya (90° ile 180° arasında) geniş açı denir ("geniş", "küt" anlamına gelir).
1/2 dönüşe (180° veya $π$ radyan) eşit bir açıya düz açı denir.
Düz açıdan daha büyük ancak 1 turdan daha küçük (180° ile 360° arasında) bir açıya refleks açı denir.
1 tura eşit bir açıya (360° veya 2 $π$ radyan) tam açı, tam açı, yuvarlak açı veya perigon denir.
Bir dik açının katı olmayan bir açıya eğik açı denir. ⓘ

İsimler, aralıklar ve ölçüm birimleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Dik açı

Akut (a), geniş (b) ve düz (c) açılar. Dar ve geniş açılar eğik açılar olarak da bilinir.

Refleks açı ⓘ

Birim	Aralık
İsim	sıfır	akut	dik açı	geniş	düz	refleks	perigon ⓘ
dön	0 dönüş	(0, 1/4) tur	1/4 tur	(1/4, 1/2) tur	1/2 tur	(1/2, 1) dönüş	1 dönüş
radyan	0 rad	(0, 1/2 $π$ ) rad	1/2 $π$ rad	(1/2 $π$ , $π$ ) rad	$π$ rad	( $π$ , 2 $π$ ) rad	2 $π$ rad
derece	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
gon	0^g	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

Eşdeğerlik açı çiftleri

Aynı ölçüye (yani aynı büyüklüğe) sahip açıların eşit veya uyumlu olduğu söylenir. Bir açı, ölçüsü ile tanımlanır ve açının kenarlarının uzunluklarına bağlı değildir (örneğin, tüm dik açıların ölçüsü eşittir).
Uç kenarları ortak olan ancak boyutları bir turun tam sayı katları kadar farklı olan iki açıya eş açı denir.
Referans açısı, sonucun büyüklüğü bir dar açı, 0 ile 1/4 dönüş, 90° veya $π$ /2 radyan arasında bir değer olana kadar, sonuçlara gerektiği şekilde düz açı (1/2 dönüş, 180° veya $π$ radyan) çıkarılarak veya eklenerek belirlenen herhangi bir açının dar versiyonudur. Örneğin, 30 derecelik bir açının 30 derecelik bir referans açısı vardır ve 150 derecelik bir açının da 30 derecelik (180-150) bir referans açısı vardır. 750 derecelik bir açının referans açısı 30 derecedir (750-720). ⓘ

Dikey ve bitişik açı çiftleri

A ve B açıları bir çift dikey açıdır; C ve D açıları ise bir çift dikey açıdır. Burada açı eşitliğini göstermek için tarama işaretleri kullanılmıştır. ⓘ

İki düz çizgi bir noktada kesiştiğinde dört açı oluşur. İkili olarak bu açılar birbirlerine göre konumlarına göre adlandırılır.

"X" benzeri bir şekil oluşturan iki kesişen düz çizginin oluşturduğu birbirine zıt bir çift açıya dikey açılar veya karşıt açılar veya dikey olarak karşıt açılar denir. Vert. opp olarak kısaltılırlar. ∠s.

Dikey olarak zıt açıların eşitliği dikey açı teoremi olarak adlandırılır. Rodoslu Eudemus ispatı Miletoslu Thales'e atfetmiştir. Önerme, bir çift dikey açının her ikisinin de bitişik açıların her ikisinin tamamlayıcısı olması nedeniyle, dikey açıların ölçü olarak eşit olduğunu göstermiştir. Tarihi bir nota göre, Thales Mısır'ı ziyaret ettiğinde, Mısırlıların kesişen iki doğru çizdiklerinde, eşit olduklarından emin olmak için dikey açıları ölçtüklerini gözlemlemiştir. Thales, aşağıdaki gibi bazı genel kavramlar kabul edilirse, tüm dikey açıların eşit olduğunun kanıtlanabileceği sonucuna varmıştır:

Tüm düz açılar eşittir.
Eşitlere eklenen eşitler eşittir.
Eşitlerden çıkarılan eşitler eşittir. ⓘ

İki komşu açı düz bir çizgi oluşturduğunda, bunlar tamamlayıcıdır. Bu nedenle, A açısının ölçüsünün x'e eşit olduğunu varsayarsak, C açısının ölçüsü 180° - x olacaktır. Benzer şekilde, D açısının ölçüsü 180° - x olacaktır. Hem C açısı hem de D açısı 180° - x'e eşit ölçülere sahiptir ve eştir. B açısı hem C hem de D açılarının tamamlayıcısı olduğundan, B açısının ölçüsünü belirlemek için bu açı ölçülerinden herhangi biri kullanılabilir. C veya D açısının ölçüsünü kullanarak B açısının ölçüsünü 180° - (180° - x) = 180° - 180° + x = x olarak buluruz. ⓘ

A ve B açıları bitişiktir. ⓘ

Genellikle adj. ∠s olarak kısaltılan bitişik açılar, ortak bir tepe noktasını ve kenarı paylaşan ancak herhangi bir iç noktayı paylaşmayan açılardır. Başka bir deyişle, yan yana veya bitişik olan, bir "kolu" paylaşan açılardır. Bir dik açı, düz açı veya tam açıyla toplanan bitişik açılar özeldir ve sırasıyla tamamlayıcı, tamamlayıcı ve tamamlayıcı açılar olarak adlandırılır (bkz. aşağıdaki § Açı çiftlerinin birleştirilmesi). ⓘ

Bir enine doğru, bir çift (genellikle paralel) doğruyu kesen bir doğrudur ve alternatif iç açılar, karşılık gelen açılar, iç açılar ve dış açılarla ilişkilendirilir. ⓘ

Açı çiftlerini birleştirme

Üç özel açı çifti, açıların toplanmasını içerir:

Tamamlayıcı açılar a ve b (b 'nin tümleyenidir. ave a 'nin tümleyenidir. b). ⓘ

Tamamlayıcı açılar, ölçüleri toplamı bir dik açı (1/4 tur, 90° veya $π$ /2 radyan) olan açı çiftleridir. İki tamamlayıcı açı bitişikse, paylaşılmayan kenarları bir dik açı oluşturur. Öklid geometrisinde, bir dik üçgendeki iki dar açı tamamlayıcıdır, çünkü bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir ve dik açının kendisi 90 derecedir.

Tamamlayıcı sıfatı Latince complementum'dan gelir ve complere "doldurmak" fiiliyle ilişkilidir. Bir dar açı, tamamlayıcısı tarafından "doldurularak" bir dik açı oluşturulur.

Bir açı ile dik açı arasındaki fark, açının tümleyeni olarak adlandırılır.

A ve B açıları tamamlayıcı ise, aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

{\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}

(Bir açının tanjantı, tümleyeninin kotanjantına ve sekantı da tümleyeninin kosekantına eşittir).

Bazı trigonometrik oranların isimlerindeki "co-" ön eki "tamamlayıcı" kelimesini ifade eder. ⓘ

Açılar a ve b tamamlayıcı açılardır. ⓘ

Toplamı bir düz açı (1/2 tur, 180° veya $π$ radyan) olan iki açıya tamamlayıcı açılar denir.

İki tamamlayıcı açı bitişikse (yani ortak bir tepe noktasına sahipse ve sadece bir kenarı paylaşıyorsa), paylaşılmayan kenarları düz bir çizgi oluşturur. Bu tür açılara doğrusal açı çifti denir. Bununla birlikte, tamamlayıcı açılar aynı doğru üzerinde olmak zorunda değildir ve uzayda ayrılabilirler. Örneğin, bir paralelkenarın bitişik açıları tamamlayıcıdır ve döngüsel bir dörtgenin (tüm köşeleri tek bir daire üzerinde olan) karşıt açıları tamamlayıcıdır.

Bir P noktası O merkezli bir çemberin dışındaysa ve P'den gelen teğet doğrular çembere T ve Q noktalarında değiyorsa, ∠TPQ ve ∠TOQ tamamlayıcıdır.

Tamamlayıcı açıların sinüsleri eşittir. Kosinüsleri ve tanjantları (tanımlanmamışsa) büyüklük olarak eşittir ancak zıt işaretlere sahiptir.

Öklid geometrisinde, bir üçgendeki iki açının toplamı üçüncünün tamamlayıcısıdır, çünkü bir üçgenin iç açılarının toplamı bir doğru açıdır. ⓘ

İki tamamlayıcı açının toplamı bir tam açıdır. ⓘ

Toplamı bir tam açı (1 tur, 360° veya 2 $π$ radyan) olan iki açıya tümler açılar veya eşlenik açılar denir.
Bir açı ile tam açı arasındaki fark, açının tümleyeni veya açının eşleniği olarak adlandırılır. ⓘ

Çokgenlerle ilgili açılar

İç ve dış açılar. ⓘ

Basit bir çokgenin parçası olan bir açı, o basit çokgenin iç kısmında yer alıyorsa iç açı olarak adlandırılır. Basit bir içbükey çokgenin refleks açı olan en az bir iç açısı vardır.
Öklid geometrisinde, bir üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamı $π$ radyan, 180° veya 1/2 turdur; basit bir dışbükey dörtgenin iç açılarının ölçülerinin toplamı 2 $π$ radyan, 360° veya 1 turdur. Genel olarak, n kenarlı basit bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri (n - 2) $π$ radyan veya (n - 2)180 derece, (n - 2)2 dik açı veya (n - 2)1/2 tura kadar toplanır.
Bir iç açının tamamlayıcısına dış açı denir, yani bir iç açı ve bir dış açı doğrusal bir açı çifti oluşturur. Çokgenin her bir tepe noktasında, her biri çokgenin tepe noktasında birleşen iki kenarından birinin uzatılmasıyla belirlenen iki dış açı vardır; bu iki açı dikeydir ve dolayısıyla eşittir. Bir dış açı, çokgenin izini sürmek için bir tepe noktasında yapılması gereken döndürme miktarını ölçer. Eğer karşılık gelen iç açı bir refleks açı ise, dış açı negatif olarak kabul edilmelidir. Basit olmayan bir çokgende bile dış açıyı tanımlamak mümkün olabilir, ancak dış açı ölçüsünün işaretine karar vermek için düzlemin (veya yüzeyin) bir yönünü seçmek gerekecektir.
Öklid geometrisinde, basit bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı, her bir tepe noktasında iki dış açıdan yalnızca biri varsayılırsa, bir tam tur (360°) olacaktır. Buradaki dış açı, tamamlayıcı dış açı olarak adlandırılabilir. Dış açılar Logo Turtle programlarında düzgün çokgenler çizilirken yaygın olarak kullanılır.
Bir üçgende, iki dış açının açıortayları ve diğer iç açının açıortayı eş zamanlıdır (tek bir noktada birleşir).
Bir üçgende, her biri karşıt genişletilmiş kenar ile bir dış açıortayının üç kesişme noktası aynı hizadadır.
Bir üçgende, ikisi bir iç açıortay ile karşı kenar arasında ve üçüncüsü diğer dış açıortay ile uzatılan karşı kenar arasında olmak üzere üç kesişim noktası eş doğrusaldır.
Bazı yazarlar, basit bir çokgenin dış açısı adını, basitçe iç açının dış açısını (tamamlayıcısı değil!) ifade etmek için kullanmaktadır. Bu, yukarıdaki kullanımla çelişmektedir. ⓘ

Düzlemle ilgili açılar

İki düzlem arasındaki açıya (bir çokyüzlünün iki bitişik yüzü gibi) dihedral açı denir. Düzlemlere normal iki doğru arasındaki dar açı olarak tanımlanabilir.
Bir düzlem ile kesişen bir doğru arasındaki açı, kesişen doğru ile kesişme noktasından geçen ve düzleme normal olan doğru arasındaki açının doksan derece eksiğine eşittir. ⓘ

Açıların ölçülmesi

Geometrik bir açının boyutu genellikle ışınlardan birini diğerine eşleyen en küçük dönüşün büyüklüğü ile karakterize edilir. Aynı boyuta sahip açıların eşit veya uyumlu ya da ölçü olarak eşit olduğu söylenir. ⓘ

Bir daire üzerindeki bir noktanın tanımlanması veya bir nesnenin referans yönüne göre iki boyuttaki yönünün tanımlanması gibi bazı bağlamlarda, tam bir dönüşün tam katları kadar farklı olan açılar etkin bir şekilde eşdeğerdir. Spiral bir eğri üzerindeki bir noktanın tanımlanması veya bir nesnenin referans bir yönelime göre iki boyutta kümülatif dönüşünün tanımlanması gibi diğer bağlamlarda, tam bir dönüşün sıfır olmayan bir katı kadar farklı olan açılar eşdeğer değildir. ⓘ

θ

açısının ölçüsü sr radyandır. ⓘ

Bir açıyı ölçmek için θaçının tepe noktasını merkez alan dairesel bir yay çizilir, örneğin bir çift pergel ile. Uzunluğun oranı s yayın yarıçapı ile r dairenin radyan sayısı açıdaki radyan sayısıdır. Geleneksel olarak, matematikte ve SI'da radyan boyutsuz değer olan 1'e eşit olarak ele alınır. ⓘ

Başka bir açısal birimle ifade edilen açı, açının k/2 $π$ biçiminde uygun bir dönüştürme sabitiyle çarpılmasıyla elde edilebilir; burada k, seçilen birimde ifade edilen tam bir dönüşün ölçüsüdür (örneğin, derece için k = 360° veya gradyan için 400 grad):

\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.

ⓘ

Bu şekilde tanımlanan $θ$ değeri dairenin boyutundan bağımsızdır: yarıçapın uzunluğu değiştirilirse yay uzunluğu da aynı oranda değişir, dolayısıyla s/r oranı değişmez. ⓘ

Açı ekleme postülası

Açı ekleme önermesi, B'nin AOC açısının iç kısmında olması durumunda şunu belirtir ⓘ

m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}

ⓘ

AOC açısının ölçüsü, AOB açısının ölçüsü ile BOC açısının ölçüsünün toplamıdır. ⓘ

Birimler

1 radyanın tanımı ⓘ

Tarih boyunca açılar çeşitli birimlerle ölçülmüştür. Bunlar açısal birimler olarak bilinir ve en çağdaş birimler derece (°), radyan (rad) ve gradyan (grad) olmakla birlikte, tarih boyunca başka birçok birim de kullanılmıştır. ⓘ

Uluslararası Büyüklükler Sisteminde açı boyutsuz bir büyüklük olarak tanımlanır. Bu, açının boyutsal analizde nasıl ele alındığını etkiler. ⓘ

Açısal ölçüm birimlerinin çoğu, bir tam sayı n için bir tur (yani bir tam daire) n birime eşit olacak şekilde tanımlanır. İki istisna radyan (ve ondalık alt katları) ve çap parçasıdır. ⓘ

Bir radyan, çemberin yarıçapı ile aynı uzunluğa sahip bir çember yayı tarafından geçilen açıdır. Radyan, SI sisteminde türetilmiş açısal ölçüm birimidir. Tanım gereği boyutsuzdur, ancak belirsizliği önlemek için rad olarak belirtilebilir. Derece cinsinden ölçülen açılar ° sembolü ile gösterilir. Derecenin alt bölümleri dakika (sembol ′, 1′ = 1/60°) ve saniyedir (sembol ″, 1″ = 1/3600°). 360°'lik bir açı, tam bir dairenin açtığı açıya karşılık gelir ve $2 π$ radyan ya da 400 gradyana eşittir. ⓘ

Açıları temsil etmek için kullanılan diğer birimler aşağıdaki tabloda listelenmiştir. Bu birimler, dönüş sayısı tam bir dönüşe eşdeğer olacak şekilde tanımlanmıştır. ⓘ

isim	bir turda sayı	derece cinsinden	Açıklama ⓘ
Dönüş	1	360°	Dönüş, aynı zamanda döngü, devrim ve rotasyon, daire veya elips ile tam dairesel hareket veya ölçüdür (aynı noktaya dönmek gibi). Bir dönüş, uygulamaya bağlı olarak cyc, rev veya rot olarak kısaltılır. Bir dönüş 2 $π$ radyan veya 360 dereceye eşittir.
$π$ 'nin katları	2	180°	$π$ radyanın katları (MUL $π$ ) birimi RPN bilimsel hesap makinesi WP 43S'de uygulanmaktadır. Ayrıca bakınız: IEEE 754 önerilen işlemler
Çeyrek	4	90°	Bir kadran 1/4 turdur ve dik açı olarak da bilinir. Çeyrek, Öklid'in Elementler'inde kullanılan birimdir. Almanca'da bir kadranı ifade etmek için ^∟ sembolü kullanılmıştır. 1 kadran = 90° = $π$ /2 rad = 1/4 tur = 100 grad.
Sextant	6	60°	Sekstant, Babilliler tarafından kullanılan bir birimdir; derece, yay dakikası ve yay saniyesi, Babil biriminin seksajimal alt birimleridir. Özellikle cetvel ve pergel ile oluşturulması kolaydır. Eşkenar üçgenin açısıdır veya 1/6 turdur. 1 Babil birimi = 60° = $π$ /3 rad ≈ 1.047197551 rad.
Radyan	$2 π$	57°17′	Radyan, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir dairenin çevresi tarafından belirlenir (n = 2 $π$ = 6.283...). Çemberin yarıçapı ile aynı uzunlukta olan bir çember yayının yaptığı açıdır. Radyan için kullanılan sembol rad'dır. Bir tur 2 $π$ radyandır ve bir radyan 180°/ $π$ veya yaklaşık 57,2958 derecedir. Matematiksel metinlerde, açılar genellikle radyan bire eşit olacak şekilde boyutsuz olarak ele alınır ve bu da rad biriminin genellikle atlanmasına neden olur. Radyan, örneğin trigonometrik fonksiyonların argümanları radyan cinsinden olduğunda gösterdikleri hoş ve "doğal" özellikler nedeniyle, basit pratik geometrinin ötesinde neredeyse tüm matematiksel çalışmalarda kullanılır. Radyan, aynı zamanda açıyı boyutsuz olarak ele alan SI'da (türetilmiş) açısal ölçüm birimidir.
Hexacontade	60	6°	Hexacontade, Eratosthenes tarafından kullanılan bir birimdir. Bu birim 6°'ye eşittir, böylece bir tur 60 heksakontade bölünmüştür.
İkili derece	256	1°33'45"	İkili derece, ikili radyan veya brad veya ikili açısal ölçüm (BAM) olarak da bilinir. İkili derece, bir açının tek bir baytta verimli bir şekilde temsil edilebilmesi için hesaplamada kullanılır (sınırlı hassasiyette de olsa). Hesaplamada kullanılan diğer açı ölçüleri, n'nin diğer değerleri için bir tam dönüşün 2n eşit parçaya bölünmesine dayanabilir. Bir turun 1/256'sıdır.
Derece	360	1°	Bu eski seksajimal alt birimin bir avantajı, basit geometride yaygın olan birçok açının tam bir derece sayısı olarak ölçülmesidir. Bir derecenin kesirleri normal ondalık gösterimle yazılabilir (örneğin üç buçuk derece için 3,5°), ancak "derece-dakika-saniye" sisteminin "dakika" ve "saniye" cinsinden alt birimleri de özellikle coğrafi koordinatlarda ve astronomi ve balistikte kullanılmaktadır (n = 360) Küçük bir üst simge daire (°) ile gösterilen derece, bir dönüşün 1/360'ıdır, yani bir dönüş 360°'dir. Daha önce verilen formül için derece durumu, k = 360°/2 $π$ ayarlanarak n = 360° birimlik bir derece elde edilir.
Grad	400	0°54′	Grad, grade, gradian veya gon olarak da adlandırılır. Çeyreğin ondalık bir alt birimidir. Bir dik açı 100 grad'dır. Bir kilometre tarihsel olarak Dünya'nın bir meridyeni boyunca bir santi-grad yay olarak tanımlanmıştır, bu nedenle kilometre, seksajimal deniz milinin (n = 400) ondalık analogudur. Grad çoğunlukla üçgenleme ve kıtasal ölçmede kullanılır.
Yay dakikası	21,600	0°1′	Yay dakikası (veya MOA, arcminute veya sadece dakika) bir derecenin 1/60'ıdır. Bir deniz mili tarihsel olarak Dünya'nın büyük bir dairesi boyunca bir yay dakikası olarak tanımlanmıştır (n = 21.600). Yay dakikası bir derecenin 1/60'ıdır = 1/21,600 dönüş. Tek bir asal sayı ( ′ ) ile gösterilir. Örneğin, 3° 30′, 3 × 60 + 30 = 210 dakika veya 3 + 30/60 = 3,5 dereceye eşittir. Bazen ondalık kesirlerle karışık bir format da kullanılır, örneğin 3° 5.72′ = 3 + 5.72/60 derece. Bir deniz mili tarihsel olarak Dünya'nın büyük bir dairesi boyunca bir yay dakikası olarak tanımlanmıştır.
Yay saniyesi	1,296,000	0°0′1″	Yay saniyesi (veya yay saniyesi veya sadece saniye) bir yay dakikasının 1/60'ı ve bir derecenin 1/3600'üdür (n = 1.296.000). Yay saniyesi (veya yay saniyesi veya sadece saniye) bir yay dakikasının 1/60'ı ve bir derecenin 1/3600'üdür. Çift asal ( ″ ) ile gösterilir. Örneğin, 3° 7′ 30″, 3 + 7/60 + 30/3600 dereceye veya 3,125 dereceye eşittir.

Diğer tanımlayıcılar

Saat açısı (n = 24): Astronomik saat açısı 1/24 turdur. Bu sistem günde bir kez döngü yapan nesneleri (yıldızların göreli konumu gibi) ölçmeye uygun olduğu için, cinsiyete dayalı alt birimlere zamanın dakikası ve zamanın saniyesi denir. Bunlar yay dakikası ve saniyesinden farklıdır ve 15 kat daha büyüktür. 1 saat = 15° = $π$ /12 rad = 1/6 quad = 1/24 turn = 16+2/3 grad.
(Pusula) noktası veya rüzgar (n = 32): Navigasyonda kullanılan nokta, bir dönüşün 1/32'sidir. 1 nokta = 1/8 dik açı = 11.25° = 12.5 grad. Her nokta dört çeyrek noktaya bölünür, böylece 1 dönüş 128 çeyrek noktaya eşit olur.
Pechus (n = 144-180): Pechus yaklaşık 2° ya da 2+1/2°'ye eşit bir Babil birimiydi.
Tau, bir turdaki radyan sayısı (1 tur = $τ$ rad), $τ = 2 π$ .
Çap kısmı (n = 376,99...): Çap parçası (zaman zaman İslam matematiğinde kullanılır) 1/60 radyandır. Bir "çap parçası" yaklaşık 0,95493°'dir. Dönüş başına yaklaşık 376,991 çap parçası vardır.
Miliradyan ve türetilmiş tanımlar: Gerçek miliradyan bir radyanın binde biri olarak tanımlanır, bu da bir tur dönüşün tam olarak 2000π mil'e (veya yaklaşık 6283.185 mil'e) eşit olacağı anlamına gelir ve ateşli silahlar için neredeyse tüm dürbünler bu tanıma göre kalibre edilir. Buna ek olarak, topçuluk ve navigasyon için kullanılan ve yaklaşık olarak bir miliradyana eşit olan türetilmiş üç tanım daha vardır. Bu diğer üç tanıma göre bir dönüş tam olarak 6000, 6300 ya da 6400 mil yapar ki bu da 0,05625 ila 0,06 derece (3,375 ila 3,6 dakika) aralığına eşittir. Buna karşılık, gerçek miliradyan yaklaşık 0.05729578 derecedir (3.43775 dakika). Bir "NATO mil" bir dairenin 1/6400'ü olarak tanımlanır. Tıpkı gerçek miliradyanda olduğu gibi, diğer tanımların her biri de miliradyanın kullanışlı özelliklerinden yararlanır, yani bir miliradyanın değeri yaklaşık olarak 1 km uzaklıktan görülen 1 metrelik bir genişliğin oluşturduğu açıya eşittir (2 $π$ /6400 = 0.0009817... ≈ 1/1000).
Akhnam ve zam. Eski Arabistan'da bir dönüş 32 Akhnam'a ve her akhnam 7 zam'a bölünmüştür, böylece bir dönüş 224 zam'dır. ⓘ

İşaretli açılar

Bir açının ölçümünün tanımı negatif açı kavramını desteklemese de, pozitif ve negatif açısal değerlerin bazı referanslara göre zıt yönlerdeki yönelimleri ve/veya dönüşleri temsil etmesine izin veren bir konvansiyon uygulamak sıklıkla yararlıdır. ⓘ

İki boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde, bir açı tipik olarak tepe noktası orijinde olmak üzere iki kenarı ile tanımlanır. Başlangıç kenarı pozitif x ekseni üzerindeyken, diğer kenar veya terminal kenar başlangıç kenarından radyan, derece veya dönüş cinsinden ölçü ile tanımlanır. Pozitif açılar pozitif y eksenine doğru dönüşleri, negatif açılar ise negatif y eksenine doğru dönüşleri temsil eder. Kartezyen koordinatlar, x ekseni sağa ve y ekseni yukarı doğru tanımlanan standart konumla temsil edildiğinde, pozitif dönüşler saat yönünün tersine ve negatif dönüşler saat yönündedir. ⓘ

Birçok bağlamda, -θ açısı etkin bir şekilde "bir tam dönüş eksi θ" açısına eşdeğerdir. Örneğin, -45° olarak temsil edilen bir yönelim, 360° - 45° veya 315° olarak temsil edilen bir yönelimle etkin bir şekilde eşdeğerdir. Son konum aynı olsa da -45°'lik fiziksel bir dönüş (hareket) 315°'lik bir dönüşle aynı değildir (örneğin, tozlu bir zemin üzerinde duran bir süpürgeyi tutan bir kişinin dönüşü, zemin üzerinde süpürülen bölgelerin görsel olarak farklı izlerini bırakacaktır). ⓘ

Üç boyutlu geometride, "saat yönünde" ve "saat yönünün tersine" ifadelerinin mutlak bir anlamı yoktur, bu nedenle pozitif ve negatif açıların yönü, tipik olarak açının tepe noktasından geçen ve açının ışınlarının bulunduğu düzleme dik olan bir vektör olan bazı referanslara göre tanımlanmalıdır. ⓘ

Navigasyonda kerteriz veya azimut kuzeye göre ölçülür. Geleneksel olarak, yukarıdan bakıldığında, kerteriz açıları saat yönünde pozitiftir, bu nedenle 45°'lik bir kerteriz kuzey-doğu yönüne karşılık gelir. Negatif kerterizler navigasyonda kullanılmaz, bu nedenle kuzey-batı yönü 315°'lik bir kerterize karşılık gelir. ⓘ

Bir açının büyüklüğünü ölçmenin alternatif yolları

Bir açısal birim için, açı toplama postülasının geçerli olması tanımsaldır. Açı toplama önermesinin geçerli olmadığı bazı açı ölçümleri şunlardır:

Eğim veya eğim açının tanjantına eşittir; eğim genellikle yüzde olarak ifade edilir. Çok küçük değerler için (%5'ten az), bir eğimin derecesi yaklaşık olarak açının radyan cinsinden ölçüsüdür.
İki doğru arasındaki yayılma, rasyonel geometride doğrular arasındaki açının sinüsünün karesi olarak tanımlanır. Bir açının sinüsü ve tamamlayıcı açısının sinüsü aynı olduğundan, doğrulardan birini diğerine eşleyen herhangi bir dönme açısı, doğrular arasındaki yayılma için aynı değere yol açar.
Nadiren yapılsa da, açının sinüsü gibi trigonometrik fonksiyonların doğrudan sonuçları rapor edilebilir. ⓘ

Astronomik yaklaşımlar

Gökbilimciler nesnelerin görünür büyüklüklerini ve aralarındaki mesafeleri gözlem noktalarından derece cinsinden ölçerler.

0,5°, Dünya'dan bakıldığında Güneş'in veya Ay'ın yaklaşık çapıdır.
1°, kol uzunluğundaki küçük parmağın yaklaşık genişliğidir.
10°, kol uzunluğundaki kapalı bir yumruğun yaklaşık genişliğidir.
20°, kol uzunluğundaki bir el açıklığının yaklaşık genişliğidir. ⓘ

Bu ölçümler açıkça kişiye göre değişir ve yukarıdakiler sadece kaba kural yaklaşımları olarak ele alınmalıdır. ⓘ

Astronomide, sağ yükselim ve eğim genellikle açısal birimlerle ölçülür ve 24 saatlik bir güne dayalı olarak zaman cinsinden ifade edilir. ⓘ

Birim	Sembol	Derece	Radyanlar	Daire	Diğer ⓘ
Saat	h	15°	$π$ ⁄12	1⁄24
Dakika	m	0°15′	$π$ ⁄720	1⁄1,440	1⁄60 saat
İkinci	s	0°0′15″	$π$ ⁄43200	1⁄86,400	1⁄60 dakika

Eğriler arasındaki açılar

P'deki iki eğri arasındaki açı, teğetler arasındaki açı olarak tanımlanır A ve B at P. ⓘ

Bir doğru ile bir eğri arasındaki açı (karma açı) veya kesişen iki eğri arasındaki açı (eğrisel açı), kesişme noktasındaki teğetler arasındaki açı olarak tanımlanır. Özel durumlara çeşitli isimler (artık nadiren kullanılıyor) verilmiştir: -amfisitik (Gr. ἀμφί, her iki tarafta, κυρτός, dışbükey) veya cissoidal (Gr. κισσός, sarmaşık), bikonveks; xystroidal veya sistroidal (Gr. ξυστρίς, kazıma aleti), konkav-konveks; amphicoelic (Gr. κοίλη, oyuk) veya angulus lunularis, bikonkav. ⓘ

İkiye ve üçe kesen açılar

Antik Yunan matematikçileri sadece pergel ve çizgeç kullanarak bir açıyı ikiye bölmeyi (eşit ölçülerde iki açıya bölmeyi) biliyorlardı, ancak sadece belirli açıları üçe bölebiliyorlardı. Pierre Wantzel 1837'de çoğu açı için bu işlemin yapılamayacağını göstermiştir. ⓘ

Nokta çarpımı ve genellemeler

Öklid uzayında, iki Öklid vektörü u ve v arasındaki θ açısı, bunların nokta çarpımı ve uzunlukları ile aşağıdaki formülle ilişkilidir ⓘ

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

ⓘ

Bu formül, iki düzlem (veya eğri yüzey) arasındaki açıyı normal vektörlerinden ve eğri doğrular arasındaki açıyı vektör denklemlerinden bulmak için kolay bir yöntem sağlar. ⓘ

İç çarpım

Soyut bir reel iç çarpım uzayında açıları tanımlamak için, Öklid nokta çarpımını ( - ) iç çarpım ile değiştiririz $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ yani. ⓘ

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

ⓘ

Karmaşık bir iç çarpım uzayında, yukarıdaki kosinüs ifadesi gerçek olmayan değerler verebilir, bu nedenle yerine ⓘ

\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

ⓘ

veya daha yaygın olarak, mutlak değeri kullanarak ⓘ

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

ⓘ

İkinci tanım vektörlerin yönünü göz ardı eder ve bu nedenle tek boyutlu alt uzaylar arasındaki açıyı tanımlar $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ ve $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ vektörleri tarafından yayılan $\mathbf {u}$ ve $\mathbf {v}$ karşılık gelir. ⓘ

Alt uzaylar arasındaki açılar

Tek boyutlu alt uzaylar arasındaki açının tanımı $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ ve $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ tarafından verilen ⓘ

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|

ⓘ

Hilbert uzayında herhangi bir sonlu boyuttaki alt uzaylara genişletilebilir. İki alt uzay verildiğinde ${\mathcal {U}}$ , ${\mathcal {W}}$ ile $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ 'nin tanımlanmasına yol açar. $k$ açılar, alt uzaylar arasında kanonik veya temel açılar olarak adlandırılır. ⓘ

Riemann geometrisindeki açılar

Riemann geometrisinde, metrik tensör iki teğet arasındaki açıyı tanımlamak için kullanılır. Burada U ve V teğet vektörler, g_ij ise G metrik tensörünün bileşenleridir, ⓘ

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.

ⓘ

Hiperbolik açı

Hiperbolik açı, tıpkı dairesel açının dairesel bir fonksiyonun argümanı olması gibi hiperbolik bir fonksiyonun argümanıdır. Karşılaştırma, bir hiperbolik sektörün ve bir dairesel sektörün açıklıklarının boyutu olarak görselleştirilebilir, çünkü bu sektörlerin alanları her iki durumda da açı büyüklüklerine karşılık gelir. Dairesel açının aksine, hiperbolik açı sınırsızdır. Dairesel ve hiperbolik fonksiyonlar açı argümanlarında sonsuz seriler olarak görüldüğünde, dairesel olanlar sadece hiperbolik fonksiyonların değişen seri formlarıdır. İki tür açı ve fonksiyonun bu şekilde örülmesi Leonhard Euler tarafından Introduction to the Analysis of Infinite adlı eserinde açıklanmıştır. ⓘ

Coğrafya ve astronomide açılar

Coğrafyada, Dünya üzerindeki herhangi bir noktanın konumu bir coğrafi koordinat sistemi kullanılarak tanımlanabilir. Bu sistem, ekvator ve (genellikle) Greenwich meridyenini referans olarak kullanarak, herhangi bir yerin enlem ve boylamını Dünya'nın merkezinden geçen açılar cinsinden belirtir. ⓘ

Astronomide, gök küresi üzerindeki belirli bir nokta (yani, bir astronomik nesnenin görünen konumu), referansların belirli sisteme göre değiştiği çeşitli astronomik koordinat sistemlerinden herhangi biri kullanılarak tanımlanabilir. Astronomlar iki yıldız arasındaki açısal ayrımı, Dünya'nın merkezinden geçen ve her biri yıldızlardan biriyle kesişen iki çizgi hayal ederek ölçerler. Bu çizgiler arasındaki açı ölçülebilir ve iki yıldız arasındaki açısal ayrılıktır. ⓘ

Hem coğrafyada hem de astronomide bir görüş yönü, ufka göre yükseklik/yükseklik ve kuzeye göre azimut gibi dikey bir açı cinsinden belirtilebilir. ⓘ

Astronomlar ayrıca nesnelerin görünen boyutlarını açısal çap olarak ölçerler. Örneğin, dolunay Dünya'dan bakıldığında yaklaşık 0,5°'lik bir açısal çapa sahiptir. "Ay'ın çapı yarım derecelik bir açı yapar" denebilir. Küçük açı formülü, böyle bir açısal ölçümü bir mesafe/büyüklük oranına dönüştürmek için kullanılabilir. ⓘ